প্যাসকেলের ত্রিভুজের ব্যবহার

নবম-দশম শ্রেণি (মাধ্যমিক ২০২৫) - উচ্চতর গণিত - দ্বিপদী বিস্তৃতি | | NCTB BOOK

প্যাসকেলের ত্রিভুজ থেকে আমরা দেখতে পাই এর বাম ও ডান দিকে 1 আছে। ত্রিভুজের মাঝখানের সংখ্যাগুলোর প্রত্যেকটি ঠিক উপরের দুইটি সংখ্যার যোগফল। নিম্নের উদাহরণটি লক্ষ করলে বিষয়টি খুব সহজেই বুঝা যাবে।

$n = 5$ ও $n = 6$

এর জন্য দ্বিপদী সহগগুলো হবে নিম্নরূপ:

$∴ {(1 + y)}^{5} = 1 + 5 y + 10 y^{2} + 10 y^{3} + 5 y^{4} + y^{5}$

$∴ {(1 + y)}^{6} = 1 + 6 y + 15 y^{2} + 20 y^{3} + 15 y^{4} + 6 y^{5} + y^{6}$

এবং ${(1 + y)}^{7} = 1 + 7 y + 21 y^{2} + 35 y^{3} + 35 y^{4} + 21 y^{6} + y^{7}$

আমরা যদি ভালভাবে খেয়াল করি তাহলে বুঝতে পারব এই পদ্ধতির একটি বিশেষ দুর্বলতা আছে। যেমন আমরা যদি ${(1 + y)}^{4}$ এর বিস্তৃতি জানতে চাই তাহলে ${(1 + y)}^{5}$ এর বিস্তৃতি জানা দরকার। আবার যেকোনো দ্বিপদী সহগ জানার জন্য তার ঠিক উপরের পূর্ববর্তী দুইটি সহগ জানা প্রয়োজন। এই অবস্থা থেকে উত্তরণের জন্য আমরা সরাসরি দ্বিপদী সহগ নির্ণয়ের কৌশল বের করতে চাই। প্যাসকেলের ত্রিভুজ থেকে আমরা দেখতে পাই দ্বিপদী বিস্তৃতির সহগগুলো ঘাত $n$ এবং পদটি কোন অবস্থানে আছে যেখানে তার উপর নির্ভরশীল। আমরা একটি নতুন সাংকেতিক চিহ্ন $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ বিবেচনা করি যেখানে $n$ ঘাত এবং $r$ পদের অবস্থানের সাথে সম্পর্কিত। উদাহরণস্বরূপ যদি $n = 4$ হয় তবে পদসংখ্যা হবে 5 টি। আমরা পদগুলি নিম্নোক্ত উপায়ে লিখি ।

যখন $n = 4$ , পদসংখ্যা 5 টি : $T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}, T_{5}$

তাদের সহগগুলি হলো: $1, 4, 6, 4, 1$
নতুন চিহ্ন ব্যবহার করে সহগ: $(\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix})$

এখানে, $(\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) = 1, (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{4}{1} = 4, (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{4 \times 3}{1 \times 2} = 6, (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{4 \times 3 \times 2}{1 \times 2 \times 3} = 4$ এবং

$(\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 3 \times 4} = 1$

[প্যাসকেলের ত্রিভুজ থেকে সহজেই বুঝতে পারবে]

উল্লিখিত নতুন চিহ্নের সাহায্যে $(n = 1, 2, 3, . . . .)$ প্যাসকেলের ত্রিভুজ হবে নিচের টেবিলের অনুরূপ:

$n = 1$	$(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$
$n = 2$	$(\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})$
$n = 3$	$(\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix})$
$n = 4$	$(\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix})$
$n = 5$	$(\begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix})$

সুতরাং উপরের ত্রিভুজ থেকে আমরা খুব সহজেই বলতে পারি ${(1 + y)}^{4}$ এর বিস্তৃতির তৃতীয় ( $T_{2 + 1}$ ) পদের সহগ $(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})$ এবং ${(1 + y)}^{5}$ এর বিস্তৃতির তৃতীয় $(T_{2 + 1})$ ও চতুর্থ $(T_{3 + 1})$ পদের সহগ যথাক্রমে $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) ও (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ । সাধারণভাবে ${(1 + y)}^{n}$ এর বিস্তৃতির $(r + 1)$ তম পদ $(T_{r + 1})$ এর সহগ $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ ।
এখন, $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ এর মান কত তা জানার জন্য আবারো প্যাসকেলের ত্রিভুজ লক্ষ করি। প্যাসকেলের ত্রিভুজের দুইটি হেলানো পার্শ্ব থেকে আমরা দেখতে পাই,
$(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = 1, (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}) = 1, (\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) = 1, . . . . . . ., (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) = 1$

$(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) = 1, (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) = 2, (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) = 3, . . . . . (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) = n$

আমরা $n = 5$ ধরে পাই

$(\begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix}) = 1, (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) = 5, (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{5 \times 4}{1 \times 2} = 10$

$(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{5 \times 4 \times 3}{1 \times 2 \times 3} = 10, (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2}{1 \times 2 \times 3 \times 4} = = 5$

এবং $(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5} = 1$

সুতরাং $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ এর মানের ক্ষেত্রে বলা যায়, $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{5 \times (5 - 1) \times (5 - 2)}{1 \times 2 \times 3}$ এবং $(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{6 \times (6 - 1) \times (6 - 2) \times (6 - 3)}{1 \times 2 \times 3 \times 4}$

সাধারণভাবে আমরা লিখতে পারি,

$(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) = 1, (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = 1$

$(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = \frac{n \times (n - 1) \times (n - 2) . . . . . . . . (n - r + 1)}{1 \times 2 \times 3 \times 4 . . . . . . . . \times r}$

উপরোক্ত চিহ্ন ব্যবহার করে পাই,
${(1 + y)}^{4} = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) y^{0} + (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) y^{1} + (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) y^{2} + (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) y^{3} + (\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}) y^{4} = 1 + 4 y + 6 y^{2} + 4 y^{3} + y^{4}$

${(1 + y)}^{5} = (\begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix}) y^{0} + (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) y^{1} + (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) y^{2} + (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) y^{3} + (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) y^{4} + (\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) y^{5} = 1 + 5 y + 10 y^{2} + 10 y^{3} + 5 y^{4} + y^{5}$

এবং ${(1 + y)}^{n}$ এর বিস্তৃতি
${(1 + y)}^{n} = (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) y^{0} + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) y^{1} + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) y^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) y^{3} + . . . . . . . . . . + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) y^{n} = 1 . y^{0} + n y^{1} + \frac{n (n - 1)}{1.2} y^{2} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{1.2.3} y^{3} + . . . . . . . . . + 1 . y^{n} ∴ {(1 + y)}^{n} = 1 + n y + \frac{n (n - 1)}{1.2} y^{2} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{1.2.3} y^{3} + . . . . . . . . + y^{n}$

উদাহরণ ১. ${(1 + 3 x)}^{5}$ কে বিস্তৃত কর।

সমাধান: প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে -

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

${(1 + 3 x)}^{5} = 1 + 5 (3 x) + 10 {(3 x)}^{2} + 10 {(3 x)}^{3} + 5 {(3 x)}^{4} + 1 {(3 x)}^{5} = 1 + 15 x + 90 x^{2} + 270 x^{3} + 405 x^{4} + 243 x^{5}$

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে -
${(1 + 3 x)}^{5} = (\begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix}) {(3 x)}^{0} + (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) {(3 x)}^{1} + (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) {(3 x)}^{2} + (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) {(3 x)}^{3} + (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) {(3 x)}^{4} + (\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) {(3 x)}^{5} = 1 + \frac{5}{1} (3 x) + \frac{5.4}{1.2} {(3 x)}^{2} + \frac{5.4.3}{1.2.3} {(3 x)}^{3} + \frac{5.4.3.2}{1.2.3.4} {(3 x)}^{4} + \frac{5.4.3.2.1}{1.2.3.4.5} {(3 x)}^{5} = 1 + 15 x + 90 x^{2} + 270 x^{3} + 405 x^{4} + 234 x^{5}$

উদাহরণ ২. ${(1 + \frac{2}{x})}^{8}$ ) কে পঞ্চম পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর।
সমাধান :

দ্বিপদী বিস্তৃতি ব্যবহার করে ${(1 + \frac{2}{x})}^{8}$ এর পঞ্চম পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি নিম্নরূপ:
${(1 + \frac{2}{8})}^{8} = (\begin{matrix} 8 \\ 0 \end{matrix}) {(\frac{2}{x})}^{0} + (\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix}) {(\frac{2}{x})}^{1} + (\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix}) {(\frac{2}{x})}^{2} + (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) {(\frac{2}{x})}^{3} + (\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix}) {(\frac{2}{x})}^{4} = 1.1 + \frac{8}{1} . \frac{2}{x} + \frac{8.7}{1.2} . \frac{4}{x^{2}} + \frac{8.7.6}{1.2.3} . \frac{8}{x^{3}} + \frac{8.7.6.5}{1.2.3.4} . \frac{16}{x^{4}} = 1 + \frac{16}{x} + \frac{112}{x^{2}} + \frac{448}{x^{3}} + \frac{1120}{x^{4}} ∴ {(1 + \frac{2}{x})}^{8} = 1 + \frac{16}{x} + \frac{112}{x^{2}} + \frac{448}{x^{3}} + \frac{1120}{x^{4}}$